Qual è il limite #lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x #?

#lim_(x->0) (cos(x)-1)/x = 0#. Lo determiniamo utilizzando la regola di L'hospital.

Per parafrasare, la regola di L'Hospital afferma che quando viene dato un limite al modulo #lim_(x→a)f(x)/g(x)#, Dove #f(a)# e #g(a)# sono valori che causano l'indeterminazione del limite (il più delle volte, se entrambi sono 0, o una qualche forma di ∞), a condizione che entrambe le funzioni siano continue e differenziabili in e nelle vicinanze di #a,# si può affermare che

#lim_(x→a)f(x)/g(x)=lim_(x→a)(f'(x))/(g'(x))#

O in parole, il limite del quoziente di due funzioni è uguale al limite del quoziente dei loro derivati.

Nell'esempio fornito, abbiamo #f(x)=cos(x)-1# e #g(x)=x#. Queste funzioni sono continue e differenziabili vicino #x=0, cos(0) -1 =0 and (0)=0#. Quindi, la nostra iniziale #f(a)/g(a)=0/0=?.#

Pertanto, dovremmo avvalerci della regola di L'Hospital. #d/dx (cos(x) -1)=-sin(x), d/dx x=1#. Così ...

#lim_(x->0) (cos(x)-1)/x = lim_(x->0)(-sin(x))/1 = -sin(0)/1 = -0/1 = 0#