Qual è il limite `lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x`?

`lim_(x->0) (cos(x)-1)/x = 0`. Lo determiniamo utilizzando la regola di L'hospital.

Per parafrasare, la regola di L'Hospital afferma che quando viene dato un limite al modulo `lim_(x→a)f(x)/g(x)`, Dove `f(a)` e `g(a)` sono valori che causano l'indeterminazione del limite (il più delle volte, se entrambi sono 0, o una qualche forma di ∞), a condizione che entrambe le funzioni siano continue e differenziabili in e nelle vicinanze di `a,` si può affermare che

`lim_(x→a)f(x)/g(x)=lim_(x→a)(f'(x))/(g'(x))`

O in parole, il limite del quoziente di due funzioni è uguale al limite del quoziente dei loro derivati.

Nell'esempio fornito, abbiamo `f(x)=cos(x)-1` e `g(x)=x`. Queste funzioni sono continue e differenziabili vicino `x=0, cos(0) -1 =0 and (0)=0`. Quindi, la nostra iniziale `f(a)/g(a)=0/0=?.`

Pertanto, dovremmo avvalerci della regola di L'Hospital. `d/dx (cos(x) -1)=-sin(x), d/dx x=1`. Così ...

`lim_(x->0) (cos(x)-1)/x = lim_(x->0)(-sin(x))/1 = -sin(0)/1 = -0/1 = 0`