Qual è il registro naturale di # -0.9 #?

Si noti che il logaritmo naturale dovrebbe essere l'inverso della funzione esponenziale #e^x#. Quindi la risposta alla nostra domanda è una soluzione di:

#e^x = -0.9#

Si noti tuttavia che #e^x > 0# per tutti i valori reali di #x#.

Quindi non esiste un valore reale di #x# che è un candidato per il logaritmo naturale.

La funzione esponenziale #e^x# è applicabile a numeri complessi, quindi possiamo cercare soluzioni complesse di #e^x = -0.9#.

Nota che l'identità di Eulero ci dice che:

#e^(ipi) + 1 = 0#

Quindi troviamo:

#e^(ipi + ln 0.9) = e^(ipi) * e^(ln 0.9) = -1 * 0.9 = -0.9#

In effetti il ​​valore principale del complesso logaritmo naturale di #-0.9# is #ln 0.9 + i pi#.

"Valore principale"?

Qualsiasi numero del modulo #x = ln 0.9 + (2k+1)pii# (con #k# un numero intero) soddisferà #e^x = -0.9#.

Per convenzione, il valore principale di #ln (r e^(i theta))# is #ln r + i theta# for #theta in (-pi, pi]#.

Per trovare il valore di #ln 0.9# possiamo usare:

#ln (1+t) = t-t^2/2+t^3/3-t^4/4+...#

Così:

#ln (1-t) = t+t^2/2+t^3/3+t^4/4+...#

e:

#ln (0.9) = ln (1-0.1) = -(0.1+0.01/2+0.001/3+0.0001/4+...)#

#~~ -0.10536#

Così:

#ln (-0.9) = ln (-0.9) + ipi ~~ -0.10536+ipi#