Qual è la derivata di #f (x) = cos ^ -1 (x) #?

In generale,

#d/dxcos^-1x=-1/sqrt(1-x^2)#

Ecco come otteniamo questo derivato comune:

#y=cos^-1x -> x=cosy# dalla definizione di una funzione inversa.

Differenzia entrambi i lati di #x=cosy.#

Ciò comporterà l'utilizzo Differenziazione implicita dal lato giusto:

#d/dx(x)=d/dxcosy#

#1=-dy/dxsiny#

Risolvere per #dy/dx#:

#dy/dx=-1/siny#

Dobbiamo sbarazzarci di #siny.#

Abbiamo già detto #y=cos^-1x#. Così,

#dy/dx=-1/sin(cos^-1x)#

Ora, ricorda l'identità

#sin^2x+cos^2x=1#

Nell'identità, sostituire #x# con i #cos^-1x:#

#sin^2(cos^-1x)+cos^2(cos^-1x)=1#

#cos^2(cos^-1x)=(cos(cos^-1x))^2=x^2#

#sin^2(cos^-1x)+x^2=1#

#sin^2(cos^-1x)=1-x^2#

#sin(cos^-1x)=sqrt(1-x^2)#

Così,

#dy/dx=-1/sqrt(1-x^2)#