Qual è la derivata di #sinh (x) #?

#(d(sinh(x)))/dx = cosh(x)#

Prova: è utile notare che #sinh(x):=(e^x-e^-x)/2# e #cosh(x):=(e^x+e^-x)/2#. Possiamo distinguere da qui usando il regola del quoziente o il somma della regola. Userò prima la regola di somma:
#sinh(x) = (e^x-e^-x)/2#
#= (e^x)/2-(e^-x)/2#
#=>(d(sinh(x)))/dx = d/dx((e^x)/2-(e^-x)/2)#
#=d/dx(e^x/2)-d/dx(e^-x/2)# dalla regola della somma
#=e^x/2-(-e^x/2)# mediante differenziazione di base delle funzioni esponenziali
#=(e^x+e^-x)/2 = cosh(x).#

La regola del quoziente è altrettanto semplice:
lasciare #u=e^x-e^-x# e #v=2#
Quindi #(du)/dx=e^x+e^-x# (secondo la regola della somma e differenziazione di base delle funzioni esponenziali)
e #(dv)/dx=0#
Ricordando quello #(d(u/v))/dx = (v((du)/dx)-u((dv)/dx))/v^2#

so #(d(sinh(x)))/dx=(2*(e^x+e^-x)-0)/2^2#
#=(2*(e^x+e^-x))/4#
#=(e^x+e^-x)/2=cosh(x).#