Qual è la serie di Taylor di f (x) = arctan (x) ?
f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}
Vediamo alcuni dettagli.
f(x)=arctanx
f'(x)=1/{1+x^2}=1/{1-(-x^2)}
Ricorda che la serie di potenze geometriche
1/{1-x}=sum_{n=0}^infty x^n
sostituendo x by -x^2,
Rightarrow 1/{1-(-x^2)}=sum_{n=0}^infty(-x^2)^n=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}
Così,
f'(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}
Integrando,
f(x)=int sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}dx
inserendo il segno integrale nella sommatoria,
=sum_{n=0}^infty int (-1)^n x^{2n}dx
da Power Rule,
=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}+C
Dal f(0)=arctan(0)=0,
f(0)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{(0)^{2n+1}}/{2n+1}+C=C Rightarrow C=0
Quindi,
f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}