Qual è la serie di Taylor di #f (x) = arctan (x) #?

#f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}#

Vediamo alcuni dettagli.

#f(x)=arctanx#

#f'(x)=1/{1+x^2}=1/{1-(-x^2)}#

Ricorda che la serie di potenze geometriche

#1/{1-x}=sum_{n=0}^infty x^n#

sostituendo #x# by #-x^2#,

#Rightarrow 1/{1-(-x^2)}=sum_{n=0}^infty(-x^2)^n=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}#

Così,

#f'(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}#

Integrando,

#f(x)=int sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}dx#

inserendo il segno integrale nella sommatoria,

#=sum_{n=0}^infty int (-1)^n x^{2n}dx#

da Power Rule,

#=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}+C#

Dal #f(0)=arctan(0)=0#,

#f(0)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{(0)^{2n+1}}/{2n+1}+C=C
Rightarrow C=0#

Quindi,

#f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}#