Qual è l'equazione di una sfera in forma standard?

La risposta è: #x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0#,

Questo perché la sfera è il luogo di tutti
punti #P(x,y,z)# nello spazio la cui distanza da #C(x_c,y_c,z_c)# è uguale a r.

Quindi possiamo usare la formula della distanza da #P# a #C#, che dice:

#sqrt((x-x_c)^2+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2)=r# e così:

#(x-x_c)^2+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2=r^2#,

#x^2+2(x)(x_c) + x_c^2+y^2+2(y)(y_c)+y_c^2+z^2+2(z)(z_c)+z_c^2=r^2#,

#x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0#,

in quale

#a=2x_c#;
#b=2y_c#;
#c=2z_c#;
#d=x_c^2+y_c^2+z_c^2-r^2#;

Così:

#C(-a/2,-b/2,-c/2)#

e #r#, se esiste, è:

#r=sqrt(x_c^2+y_c^2+z_c^2-d)#.

Se il centro è nell'origine, l'equazione è:

#x^2+y^2+z^2=r^2#,