Trova la dimensione del rettangolo della massima area che può essere inscritta in un cerchio di raggio r?

Disegniamo un diagramma:

Come puoi vedere dal diagramma, da Pitagora, #x^2 + y^2 = r^2#, o #y^2 = r^2 - x^2 -> y = sqrt(r^2 - x^2)#

L'area sarà #A = 2x(2y) = 2x(2sqrt(r^2 - x^2)) = 4xsqrt(r^2 - x^2)#

Se prendiamo la derivata di questo rispetto a #x# otteniamo

#A' = 4sqrt(r^2- x^2) + (4x(-2x))/(2sqrt(r^2 - x^2))#

#A' = 4sqrt(r^2 - x^2) - (8x^2)/(2sqrt(r^2 -x^2))#

#A' = 4sqrt(r^2 - x^2) - (4x^2)/sqrt(r^2 - x^2)#

#A' = (4(r^2 - x^2) - 4x^2)/sqrt(r^2 - x^2)#

#A' = (4r^2 - 8x^2)/sqrt(r^2 - x^2)#

Questo avrà numeri critici quando

#0 = 4r^2 - 8x^2#

#8x^2 = 4r^2#

#x^2 = 1/2r^2#

#x = 1/sqrt(2)r#

Il valore di #y# sarà dato da #y = sqrt(r^2 - (1/sqrt(2)r)^2) =sqrt(1/2r^2) = 1/sqrt(2)r#

Quindi la forma sarà un quadrato di dimensioni #1/sqrt(2)r# by #1/sqrt(2)r#, dando una superficie massima di #1/2r^2#

Speriamo che questo aiuti!