Trova tutti i punti in cui la linea tangente è orizzontale: # x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 1 #?

Sappiamo che la linea tangente è orizzontale quando #y'=0#. Quindi vogliamo trovare tutti i punti sulla curva where #y'=0#.

PASSAGGIO 1: utilizzare Differenziazione implicita per trovare #y'#
#2x + (1*y + xy') + 2y*y' = 0 = 2x + y + xy' + 2yy' = 0#

PASSO 2: stiamo cercando dove #y'=0#, quindi vai avanti e inserisci 0 per #y'# nell'equazione sopra.
#2x + y + x(0) + 2y(0) = 0#
#y = -2x#

PASSO 3: Ora sappiamo che abbiamo una linea tangente orizzontale ogni volta #y=-2x#. Ma la domanda ci sta ponendo "per quali punti". Per trovare i punti, stiamo cercando i punti sulla curva per cui #y=-2x#.

PASSAGGIO 4: quando lo fa #y=-2x# sulla curva #x^2 + xy + y^2 = 1#?
Per risolvere questa domanda, possiamo sub-in #-2x# ovunque vediamo a #y# nella nostra equazione originale (metodo di sostituzione).
#x^2 + x(-2x) + (-2x)^2 = 1#
#x^2 -2x^2 +4x^2 = 1#
#3x^2 = 1#
#x^2 = 1/3#
#x = +- sqrt(1/3)#

PASSO 5: Ora che conosciamo il valore x del punto, possiamo facilmente trovare il valore y del punto perché sappiamo #y=-2x# dove la linea tangente è orizzontale.

PUNTI: #(sqrt(1/3),-2sqrt(1/3)) and (-sqrt(1/3),2sqrt(1/3))#