Un rettangolo è inscritto in un triangolo equilatero in modo tale che un lato del rettangolo si trovi sulla base del triangolo. Come trovo l'area massima del rettangolo quando il triangolo ha una lunghezza laterale di 10?

Innanzitutto, diamo un'occhiata a una foto.

Alcune osservazioni iniziali:

• L'area #A# del rettangolo è #A=bh#.

• Per simmetria, la base del triangolo è di lunghezza #b+2t#e quindi, poiché è di lunghezza #10#, noi abbiamo #b+2t = 10 => t = 5-b/2#

• Se decidiamo #b# questo determina anche #h#e quindi possiamo scrivere #h# come una funzione di #b#.

Scrivere #h# come una funzione di #b#, possiamo guardare il triangolo rettangolo con le gambe #t# e #h#. Poiché condivide un angolo con un triangolo equilatero, sappiamo che è a #30^@#-#60^@#-#90^@# triangolo, e quindi #t/h = 1/sqrt(3)#.
Risolvere per #h# ci dà #h = sqrt(3)t = sqrt(3)(5-b/2)# dalla nostra osservazione iniziale.

Quindi, possiamo riscrivere la nostra formula per l'area come

#A = b*sqrt3(5-b/2) = sqrt(3)(-1/2b^2 + 5b)#

Se guardiamo il grafico per #A# vedremo che è una parabola rivolta verso il basso, e quindi avrà un massimo al suo vertice. Quindi, possiamo completare il quadrato da trovare

#A = sqrt(3)(-1/2b^2+5b)#
# = -sqrt(3)/2(b^2-10b)#
# = -sqrt(3)/2((b-5)^2-25)#

E così il vertice, e quindi l'area massima, è a #b = 5#.

Infine, calcoliamo l'area da questo per ottenere

#A = -sqrt(3)/2((5-5)^2-25) = (25sqrt(3))/2#