Come trovi la serie di Taylor di #f (x) = sin (x) #?

Serie di Taylor di #f(x)=sin(x)# at #x=0# is
#sum_{n=0}^{infty}(-1)^n{x^{2n+1}}/{(2n+1)!}#.

Serie di Taylor per #f(x)# at #x=a# può essere trovato da
#f(x)=sum_{n=0}^{infty}{f^{(n)}(a)}/{n!}x^n#

Quindi, dobbiamo trovare derivati ​​di #f(x)=sin(x)#.
#f(x)=sin(x) Rightarrow f(0)=0#
#f'(x)=cos(x) Rightarrow f'(0)=1#
#f''(x)=-sin(x) Rightarrow f''(0)=0#
#f'''(x)=-cos(x) Rightarrow f'''(0)=-1#
#f^{(4)}(x)=sin(x) Rightarrow f^{(4)}(0)=0#
#cdots#

Dal #f^{(4)}(x)=f(x)#, il ciclo di {0, 1, 0, -1} si ripete, il che significa che ogni derivata di grado pari dà #0# e che ogni derivata di grado dispari si alterna tra 1 e -1. Quindi abbiamo
#f(x)={1}/{1!}x^1+{-1}/{3!}x^3+{1}/{5!}x^5+cdots#
#=sum_{n=0}^{infty}(-1)^n{x^{2n+1}}/{(2n+1)!}#