Come trovi la serie Taylor di #f (x) = cos (x) #?

La serie Taylor di #f(x)=cosx# at #x=0# is
#f(x)=sum_{n=0}^infty (-1)^nx^{2n}/{(2n)!}#.

Vediamo alcuni dettagli.

La serie Taylor per #f(x)# at #x=a# in generale può essere trovato da
#f(x)=sum_{n=0}^infty {f^{(n)}(a)}/{n!}(x-a)^n#

Troviamo la serie Taylor per #f(x)=cosx# at #x=0#.

Prendendo i derivati,
#f(x)=cosx Rightarrow f(0)=cos(0)=1#
#f'(x)=-sinx Rightarrow f'(0)=-sin(0)=0#
#f''(x)=-cosx Rightarrow f''(0)=-cos(0)=-1#
#f'''(x)=sinx Rightarrow f'''(0)=sin(0)=0#
#f^{(4)}(x)=cosx Rightarrow f^{(4)}(0)=cos(0)=1#

Dal #f(x)=f^{(4)}(x)#, il ciclo di #{1,0,-1,0}# si ripete.

Quindi, abbiamo la serie
#f(x)=1-{x^2}/{2!}+x^4/{4!}-cdots=sum_{n=0}^infty(-1)^n x^{2n}/{(2n)!}#