Qual è il limite #lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x #? #lim_(x->0) (cos(x)-1)/x = 0#. Lo determiniamo utilizzando la regola di L'hospital. Per parafrasare, la regola di L'Hospital afferma che quando viene dato un limite al modulo #lim_(x→a)f(x)/g(x)#, Dove #f(a)# e #g(a)# sono valori che causano l'indeterminazione del limite (il più delle volte, … Leggi tutto
Come trovare la costante a in modo che la funzione sia continua su tutta la linea reale dato #f (x) = 4, #x <= -1 #, ax + b, -1 <x <1 e 6, #x > = 1 #? Risposta: Abbiamo #a=1# e #b=5# dando: # f(x)={ (4,x<=-1), (x+5,-1 <= x <= 1), (6,x>=1) :} … Leggi tutto
How do you find the derivative of #f(x)=5e^x#? Risposta: #f'(x)=5e^x# Spiegazione: All that is here is a constant, #5#, multiplied with the function #e^x#. When differentiating a function that is multiplied a constant, just differentiate the other function and then multiply that by the constant. Dal momento che il derivato di #e^x# è altresì #e^x#, … Leggi tutto
Qual è la differenza tra differenziazione implicita ed esplicita? Risposta: È una differenza nel modo in cui la funzione viene presentata prima della differenziazione (o come vengono presentate le funzioni). Spiegazione: #y = -3/5x+7/5# dà #y# esplicitamente in funzione di #x#. #3x+5y=7# dà esattamente la stessa relazione tra #x# e #y#, ma la funzione è … Leggi tutto
# (Lnx) ^ 2 # equivale a # ln ^ 2 x #? Risposta: Sì, ma vedi anche sotto Spiegazione: #ln^2 x# è semplicemente un altro modo di scrivere #(lnx)^2# e quindi sono equivalenti. Tuttavia, questi non dovrebbero essere confusi con #ln x^2# che è uguale a #2lnx# C'è solo una condizione in cui #ln^2 … Leggi tutto
Come si trova una rappresentazione della serie di potenze per # 1 / (1-x) ^ 2 # e qual è il raggio di convergenza? Risposta: #1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+…# Spiegazione: Ci viene dato #f(x)=1/(1-x)^2# Questo è abbastanza simile a #1/(1-x)#, per cui conosciamo una serie di potenze: #1/(1-x) = 1+x+x^2+…=sum_(k=0)^oo x^k# Il raggio di convergenza per questa serie … Leggi tutto
Qual è la derivata di #ln (6x) #? Risposta: #d/dx(ln(6x)) = 1/x# Spiegazione: #ln(6x) = ln6 + lnx# #ln6# è una costante, quindi lo è la sua derivata #0#. #d/dx(ln(6x)) = d/dx(ln6) + d/dx(lnx) = 0+1/x = 1/x#
Come trovare un'espressione per #sin (x) # in termini di # e ^ (ix) # e # e ^ (ix) #? Risposta: #sinx = (e^(ix) – e^(-ix))/(2i)# Spiegazione: Inizia dalla serie MacLaurin della funzione esponenziale: #e^x = sum_(n=0)^oo x^n/(n!)# Sun: #e^(ix) = sum_(n=0)^oo (ix)^n/(n!) = sum_(n=0)^oo i^nx^n/(n!) # Separare ora i termini per #n# anche … Leggi tutto
lim x ->? Risposta: Vedi la spiegazione di seguito Spiegazione: È possibile semplificare l'espressione della funzione rilevando che: #x^2-16 = (x+4)(x-4)# In modo che abbiamo: #{(f(x) = x-4 ” if ” x < 0),( f(x) = x+4 ” if ” x > 0):}# Abbiamo quindi: (a) # lim_(x->-4) f(x) = lim_(x->-4) (x-4) = -8# (b) … Leggi tutto
Come si integra: #cos (lnx) dx #? Risposta: Integrazione per parti (due volte). Spiegazione: Guardando #int cos(lnx) dx#, ci rendiamo conto che se non è possibile integrarsi immediatamente. Il prossimo pensiero è, forse potremmo usare la sostituzione. Avremmo bisogno #cos(lnx) 1/x# da integrare per sostituzione. A corto di idee, proviamo a mettere il "mancante" #1/x# … Leggi tutto
