Che cos'è una funzione continua a tratti?

Si noti che i punti di discontinuità di una funzione continua a tratti non devono essere discontinuità rimovibili. Cioè non richiediamo che la funzione possa essere resa continua ridefinendola in quei punti. È sufficiente che se escludiamo quei punti dal dominio, allora la funzione è continua sul dominio limitato.

Ad esempio, considera la funzione:

#s(x) = { (-1, "if x < 0"), (0, "if x = 0"), (1, "if x > 0") :}#

grafico {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0.001) = 0 [-5, 5, -2.5, 2.5]}

Questo è continuo per tutti #x in RR# tranne #x = 0#

La discontinuità a #x=0# non è rimovibile. Non possiamo ridefinire #s(x)# a quel punto e ottenere una funzione continua.

At #x=0# il grafico della funzione "salti". Più formalmente, nella lingua dei limiti troviamo:

#lim_(x->0+) s(x) = 1#

#lim_(x->0-) s(x) = -1#

Quindi il limite sinistro e il limite destro non sono d'accordo tra loro e con il valore della funzione in #x=0#.

Se escludiamo l'insieme finito di discontinuità dal dominio, la funzione limitata a questo nuovo dominio sarà continua.

Nel nostro esempio, la definizione di #s(x)# in funzione di #(-oo, 0) uu (0, oo) -> RR# è continuo.

Se rappresentiamo graficamente #s(x)# limitato a questo dominio, sembra ancora discontinuo #0#, ma #0# non fa parte del dominio, quindi il 'salto' è irrilevante. In qualsiasi momento, arbitrariamente vicino a #0#, possiamo scegliere un piccolo intervallo aperto attorno ad esso in cui la funzione è (costante e quindi) continua.

Leggermente confusa, la funzione #tan(x)# è considerato continuo - piuttosto che continuo a tratti, perché il asintoti at #x = pi/2 + n pi# sono esclusi dal dominio.

grafico {tan (x) [-10.06, 9.94, -4.46, 5.54]}

Nel frattempo, la funzione dente di sega #f(x) = x - floor(x)# non è considerato continuo a tratti come una funzione da #RR# a #RR#, ma è continuo a tratti su qualsiasi intervallo aperto finito.

grafico {3/5 (abs (sin (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs (cos ( x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (tan (x * pi / 2)) + 1/2 [-2.56, 2.44, -0.71, 1.79]}