Come si integra #int arctan (1 / x) # usando l'integrazione per parti?

#int arctan(1/x) dx#

lasciare #theta = arctan(1/x)#.

Questo rende #tan theta = 1/x#, Così #cot theta = x#.

Per di più, #dx = -csc^2 theta " " d theta#

L'integrale diventa:

#int theta (-csc^2 theta) d theta#

lasciare #u = theta# e #dv = (-csc^2 theta) d theta#

So #du = d theta# e #v = cot theta#

#uv-int v du = theta cot theta - int cot theta d theta#

L'integrale può essere trovato per sostituzione. Noi abbiamo
#theta cot theta -ln abs sin theta +C#

utilizzando #cot theta = x# e un po 'di trigonometria, noi sind #sin theta = 1/sqrt(x^2+1)#

Quindi

#int arctan(1/x) dx = x arctan (1/x)-ln(1/sqrt(x^2+1))+C#

# = x arctan(1/x)+1/2 ln(x^2+1) +C#