Come si integra $sin (x) cos (x)$ $sin (x) cos (x)$ ?

A seconda del percorso seguito, i risultati validi includono:

Esistono vari metodi che possiamo adottare:

Sostituzione con seno:

lasciare $u = sin (x)$ $u=sin(x)$ . Questo implica che $d u = cos (x) d x$ $du=cos(x)dx$ .

Così:

$intunderbrace(sin(x))_uoverbrace(cos(x)dx)^(du)=intudu=u^2/2+C=color(blue)(sin^2(x)/2+C$

Sostituzione con coseno:

lasciare $u=cos(x)$ , Così $du=-sin(x)dx$ .

Perciò:

$intsin(x)cos(x)dx=-intunderbrace(cos(x))_uoverbrace((-sin(x))dx)^(du)=-intudu=-u^2/2+C$

$=color(blue)(-cos^2(x)/2+C$

Breve interludio:

Ti starai chiedendo, beh, perché entrambe queste risposte sono valide?

Nota che:

$sin^2(x)/2+C=(1-cos^2(x))/2+C=-cos^2(x)/2+1/2+C$

Tuttavia, la $1/2$ viene assorbito $C$ as $C$ rappresenta qualsiasi costante:

$=-cos^2(x)/2+C$

Un altro metodo che utilizza la semplificazione:

Useremo l'identità $sin(2x)=2sin(x)cos(x)$ . Così, $sin(x)cos(x)=sin(2x)/2$ .

$intsin(x)cos(x)dx=intsin(2x)/2dx=1/2intsin(2x)dx$

Da qui, lascia $u=2x$ affinché $du=2dx$ .

$=1/4intsinunderbrace((2x))_u overbrace((2)dx)^(du)=1/4intsin(u)du=-1/4cos(u)+C= color(blue)(-1/4cos(2x)+C$

Puoi anche mostrare che questo equivale alle altre due risposte usando l'identità $cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)$ .

Come si integra sin (x) cos (x) sin(x)cos(x)sin (x) cos (x) ?