Come si integra #sin (x) cos (x) #?

Esistono vari metodi che possiamo adottare:

Sostituzione con seno:

lasciare #u=sin(x)#. Questo implica che #du=cos(x)dx#.

Così:

#intunderbrace(sin(x))_uoverbrace(cos(x)dx)^(du)=intudu=u^2/2+C=color(blue)(sin^2(x)/2+C#

Sostituzione con coseno:

lasciare #u=cos(x)#, Così #du=-sin(x)dx#.

Perciò:

#intsin(x)cos(x)dx=-intunderbrace(cos(x))_uoverbrace((-sin(x))dx)^(du)=-intudu=-u^2/2+C#

#=color(blue)(-cos^2(x)/2+C#

Breve interludio:

Ti starai chiedendo, beh, perché entrambe queste risposte sono valide?

Nota che:

#sin^2(x)/2+C=(1-cos^2(x))/2+C=-cos^2(x)/2+1/2+C#

Tuttavia, la #1/2# viene assorbito #C# as #C# rappresenta qualsiasi costante:

#=-cos^2(x)/2+C#

Un altro metodo che utilizza la semplificazione:

Useremo l'identità #sin(2x)=2sin(x)cos(x)#. Così, #sin(x)cos(x)=sin(2x)/2#.

#intsin(x)cos(x)dx=intsin(2x)/2dx=1/2intsin(2x)dx#

Da qui, lascia #u=2x# affinché #du=2dx#.

#=1/4intsinunderbrace((2x))_u overbrace((2)dx)^(du)=1/4intsin(u)du=-1/4cos(u)+C= color(blue)(-1/4cos(2x)+C#

Puoi anche mostrare che questo equivale alle altre due risposte usando l'identità #cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)#.