Come si trovano le equazioni parametriche per la linea di intersezione di due piani 2x - 2y + z = 1 e 2x + y - 3z = 3?

per la linea, avremo bisogno

A) un punto che attraversa effettivamente, diciamo #vec a#, E

B) un vettore che descriva la direzione in cui viaggia, diciamo #vec b#

.... tale che la linea stessa è

#vec r = vec a + lambda vec b qquad square#

Per qualificarti per il #vec a#, possiamo semplicemente scegliere il completamente arbitrario punto, quindi qui scegliamo il punto in cui z = 0

Ciò significa che le equazioni del piano, vale a dire

#pi_1: 2x - 2y + z = 1#

#pi_2: 2x + y - 3z = 3#

diventare
#2x - 2y = 1#
#2x + y = 3#

e questi risolviamo come equazioni simultanee da ottenere

#x = 7/6, y = 2/3# e naturalmente #z = 0#

so #vec a = ((7/6), (2/3), (0))#

for #vec b# dobbiamo calcolare il prodotto incrociato vettoriale dei vettori normali per #pi_1# e #pi_2#.

Nel disegno in basso, stiamo osservando proprio lungo la linea di intersezione e abbiamo un'idea del perché il prodotto incrociato delle normali dei piani rosso e blu genera un terzo vettore, perpendicolare ai vettori normali, che definisce la direzione della linea di intersezione.

per un piano generalizzato #pi: ax + by + cz = d#, il vettore normale è: #vec n = ((a), (b), (c))#

così per #pi_1: 2x - 2y + z = 1#, il vettore normale è #vec n_1 =((2), (-2), (1))#

e per #pi_2: 2x + y - 3z = 3#, il vettore normale è #vec n_2 = ((2), (1), (-3))#

il prodotto incrociato #vec b = vec n_1 times vec n_2# è il determinante seguente:

#vec b = det [(hat i, hat j, hat k),(2, -2, 1), (2, 1, -3) ]#

# = ((5), (8), (6))#

quindi combiniamo tutto come indicato in #square# come segue

#vec r = ((7/6), (2/3), (0)) + lambda ((5), (8), (6))#

Esistono un numero infinito di modi per esprimere questa linea. #vec a# può essere qualsiasi punto della linea. E il vettore di direzione # vec b # può essere qualsiasi multiplo di quello indicato nel presente documento.

L'importante, immagino sia il metodo.