Come si usa la differenziazione per trovare una rappresentazione di serie di potenze per #f (x) = 1 / (1 + x) ^ 2 #?

Innanzitutto, nota che #frac{1}{(1+x)^2}=(1+x)^(-2)=frac{d}{dx}(-(1+x)^{-1})=frac{d}{dx}(-frac{1}{1-(-x)})#.

Ora usa l'espansione della serie di potenze #frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+cdots#, che converge per #|x|<1#, moltiplica tutto per #-1#e sostituisci tutti i "#x#"con"#-x#per ottenere

#-frac{1}{1-(-x)}=-1+x-x^2+x^3-x^4+cdots#, che converge per #|-x|<1 Leftrightarrow |x|<1#.

Infine, differenziare questo termine per termine (che è giustificato all'interno dell'intervallo di convergenza) per ottenere

#frac{1}{(1+x)^{2}}=frac{d}{dx}(-1+x-x^2+x^3-x^4+cdots)#

#=1-2x+3x^{2}-4x^{3}+cdots#.

Questo converge anche per #|x|<1#.