Come trovi la derivata di # y = x ^ tan (x) #?

Questo è un tipo di problema che coinvolge la differenziazione logaritmica.

Ogni volta che stai provando a differenziare una variabile elevata a un certo potere che coinvolge anche quella variabile, è un buon suggerimento che la differenziazione logaritmica ti aiuterà.

1.) #y = x^tanx#

Il primo passo è prendere il registro naturale di entrambi i lati:

2.) #ln y = ln x^tanx#

Usando la proprietà degli esponenti dei logaritmi, esponiamo l'esponente davanti al registro come moltiplicatore. Questo viene fatto per facilitare la differenziazione:

3.) #ln y = tan x * ln x#

Ora differenziamo implicitamente, avendo cura di usare il regola di derivazione on #ln y#. Applicheremo anche il regola del prodotto sul lato destro dell'equazione:

4.) #1/y * dy/dx = d/dx[tan x] * ln x + d/dx[ln x] * tan x#

Sappiamo che il derivato di #tan x# è uguale a #sec^2 x#e il derivato di #ln x# is #1/x#:

5.) #1/y * dy/dx = sec^2 x ln x + tan x / x#

Moltiplica entrambi i lati per #y# isolare #dy/dx#:

6.) #dy/dx = y(sec^2 x ln x + tan x / x)#

Sappiamo che #y# dal passaggio 1, quindi sostituiremo:

7.) #dy/dx = x^tan x (sec^2 x ln x + tan x / x)#

E c'è il derivato.