Come trovi la serie Taylor di f (x) = cos (x) f(x)=cos(x)?
La serie Taylor di f(x)=cosxf(x)=cosx at x=0x=0 is
f(x)=sum_{n=0}^infty (-1)^nx^{2n}/{(2n)!}f(x)=∞∑n=0(−1)nx2n(2n)!.
Vediamo alcuni dettagli.
La serie Taylor per f(x)f(x) at x=ax=a in generale può essere trovato da
f(x)=sum_{n=0}^infty {f^{(n)}(a)}/{n!}(x-a)^nf(x)=∞∑n=0f(n)(a)n!(x−a)n
Troviamo la serie Taylor per f(x)=cosxf(x)=cosx at x=0x=0.
Prendendo i derivati,
f(x)=cosx Rightarrow f(0)=cos(0)=1f(x)=cosx⇒f(0)=cos(0)=1
f'(x)=-sinx Rightarrow f'(0)=-sin(0)=0
f''(x)=-cosx Rightarrow f''(0)=-cos(0)=-1
f'''(x)=sinx Rightarrow f'''(0)=sin(0)=0
f^{(4)}(x)=cosx Rightarrow f^{(4)}(0)=cos(0)=1
Dal f(x)=f^{(4)}(x), il ciclo di {1,0,-1,0} si ripete.
Quindi, abbiamo la serie
f(x)=1-{x^2}/{2!}+x^4/{4!}-cdots=sum_{n=0}^infty(-1)^n x^{2n}/{(2n)!}