Valutare l'integrale indefinito come una serie di potenze?

Richiama l'espansione della serie di potenze per #ln(1+x):#

#ln(1+x)=sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^n/n#

Questo è uno che dovresti memorizzare; tuttavia, è derivato come segue:

#ln(1+x)=int1/(1+x)dx=int1/(1-(-x))dx#

#=intsum_(n=0)^oo(-1)^nx^n=sum_(n=0)^ooint(-1)^nx^n#

#ln(1+x)=C+sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(n+1)/(n+1)# (Integrazione termine per periodo eseguita sulla serie)

Letting #x=0,#

#C=ln(1+0)=0#

Esecuzione di uno spostamento dell'indice su #n=1#, implica la sostituzione di tutto #n# nella serie con #n-1#

#=sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^n/n#.

Sapendo questo, possiamo riscrivere il nostro dato integrale indefinito come segue:

#intx^3sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^n/ndx#

Moltiplicare in #x^3# nella serie. Possiamo farlo perché per quanto riguarda la serie, #x# sarà un valore fisso. Tutto quello che dobbiamo fare è aggiungere #3# all'esponente di #x^n, x^3x^n=x^(n+3)#

#intsum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^(n+3)/ndx#

Il raggio di convergenza di questa serie è #R=1,# poiché quello è il raggio di convergenza dell'espansione della serie di potenze per #ln(1+x)#. Moltiplicare in #x^3# non cambia il raggio di convergenza.

Eseguiamo l'integrazione termine per periodo sulla serie:

#sum_(n=1)^ooint(-1)^(n-1)x^(n+3)/ndx#

#=C+sum_(n=1)^oo(-1)^(n-1)x^(n+4)/(n(n+4))#

Lasciamo #C# come è qui.

Il raggio di convergenza è fermo #R=1.# Il raggio di convergenza non cambia quando si integrano le serie (l'intervallo può).