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Come usi la legge dei coseni per trovare l'area di un triangolo?

The area di un triangolo è definito come:http://www.cimt.plymouth.ac.uk/projects/mepres/book7/bk7i9/bk7_9i5.htm

La legge dei coseni è utile quando si conoscono due lati e l'angolo tra di essi o quando si conoscono tutti e tre i lati. Diamo un'occhiata a un triangolo generico, ABC;
http://mathworld.wolfram.com/LawofCosines.html
Nel caso in cui si conoscano due lati e un angolo, ad esempio i lati a e b e l'angolo C, si utilizzerà semplicemente la formula dell'area;

#area = (ab sin(C))/2#

e non è necessario usare la legge dei coseni.
http://mathworld.wolfram.com/LawofCosines.html
Pertanto, diamo un'occhiata al caso in cui conosciamo i tre lati di un triangolo, a, b e c. In questo caso non possiamo trovare l'altezza usando sin (C). Possiamo, tuttavia, usare il teorema di Pitagora.

Nella seconda immagine sopra, useremmo il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza di #a sin(C)#, l'altezza del triangolo.

#(a sin(C))^2 = a^2 - (a cos(C))^2#

Ora usiamo la legge dei coseni per trovare #cos(C)#. La legge dei coseni è data come;

#cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2)/ (2ab)#

così ora abbiamo;

#(a sin(C))^2 = a^2 - (a ((a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)))^2#

o;

#a sin(C) = sqrt(a^2 - ((a^2 + b^2 - c^2)/(2b))^2)#

Non è carino, ma possiamo inserire questa equazione nella nostra equazione di area per ottenere;

#Area = (b xx sqrt(a^2 - ((a^2 + b^2 - c^2)/(2b))^2))/2#

da che parte #b# è la base del triangolo e #a sin(C)# è l'altezza.

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