La derivata di una funzione
La derivata del prodotto di una costante c e di una funzione f(x) è uguale alla moltiplicazione della costante per la derivata della funzione.
Abbiamo p′(x)=c∗f′(x).
Utilità della derivata prima e seconda
La derivata prima permette di stabilire la crescenza o la decrescenza. La derivata seconda consente di riconoscere la concavità e la convessità delle curve, i tratti rettilinei, i punti di massimo e di minimo, i flessi.
Definizione di funzione concava e convessa
Una funzione convessa è tale se il segmento che congiunge due punti qualsiasi del suo grafico giace sopra il grafico stesso o coincide con una sua parte. Una funzione concava è tale se il segmento giace al di sotto del grafico o coincide con una sua parte.
Punti di flesso e derivata seconda
Nei punti di flesso, la derivata seconda è nulla. La condizione è solo necessaria, non sufficiente: se la derivata seconda è nulla non è detto che siamo in presenza di un punto di flesso; se però la derivata terza è diversa da zero, siamo sicuri che si tratti di un punto di flesso.
Il rapporto incrementale
Si chiama rapporto incrementale, ed è un rapporto di differenze calcolate a partire da un incremento h. La lettera greca Δ (Delta) si usa solitamente in Matematica e in Fisica per indicare una variazione o differenza, il che giustifica la notazione Δy/Δx.