#int_(0)^(15)x^2sqrt(a^2-x^2)dx#?

Valutare:

#int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx #

Sostituire:

#x= asint#

#dx = a costdt#

con i #t in [0,pi/2]#

così che:

#int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = int_0^(pi/2) a^2 sin^2t sqrt(a^2-a^2 sin^2t)acostdt#

#int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = a^4 int_0^(pi/2) sin^2t sqrt(1- sin^2t)costdt#

Per qualificarti per il #t in [0,pi/2]# il coseno è positivo, quindi:

#sqrt(1- sin^2t) = cost#

e poi:

#int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = a^4 int_0^(pi/2) sin^2t cos^2tdt#

Usa ora le identità trigonometriche:

#sin 2theta = 2 sin theta cos theta#

#2sin^2 theta = 1- cos theta#

Sun:

#sin^2t cos^2tdt = 1/4 sin^2 2t = 1/8(1-cos4t)#

e:

#int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = a^4/8 int_0^(pi/2) (1-cos4t)dt#

Usando ora la linearità dell'integrale:

#int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = a^4/8 (int_0^(pi/2) dt - int_0^(pi/2) cos4tdt)#

#int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = a^4/8 [t - (sin 4t)/4]_0^(pi/2)#

#int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = (a^4pi)/16#