L'uso dei vettori dimostra che le mediane di un triangolo sono simultanee?

Consideriamo un segmento #PQ# (mostrato sotto in Fig.1), che è diviso per un punto #R# nel rapporto di #l:m#. Quindi vettore che rappresenta #R# è dato da #(mvecp+lvecq)/(l+m)#

È evidente che il punto medio è rappresentato da #(vecp+vecq)/2#.

Ora consideriamo il #DeltaABC#, Dove #A,B# e #C# sono rappresentati da #vecA,vecB# e #vecC# rispettivamente. #D,E# e #F# sono i punti medi di #BC,AC# e #AB# rispettivamente. Lascia che i vettori rappresentino #D,E# e #F# be #vecd.vece# e #vecf#. #AD,BE# e #CF# vengono uniti per intersecarsi in #G# rappresentato da #vecg#.

È parente quello #vecd=(vecb+vecc)/2#, #vece=(veca+vecc)/2# e #vecf=(veca+vecb)/2#.

Troviamo anche il #vecg#. Il #G# divide #AD# nel rapporto di #2:1#, noi abbiamo

#vecg=(2vecd+veca)/(2+1)=(2vecd+veca)/(2+1)=(2((vecb+vecc)/2)+veca)/3=(veca+vecb+vecc)/3#

Osserva che è simmetrico rispetto alla mediana scelta e che abbiamo diviso #BE# or #CF# in theratio di #2:1#, il risultato sarebbe stato lo stesso. E #G# è il centroide di #DeltaABC#.

Quindi, le mediane di un triangolo sono simultanee.