Qual è il raggio di convergenza dell'espansione della serie MacLaurin per #f (x) = sinh x #?

Scopriamo innanzitutto l'espansione della serie Maclaurin per #sinhx#:

#f(x)=sinhx=(e^x-e^-x)/2, f(0)=(e^0-e^0)/2=0#

#f'(x)=coshx=(e^x+e^-x)/2, f'(0)=(e^0+e^0)/2=1#

#f''(x)=sinhx, f''(0)=0#

#f'''(x)=coshx, f'''(0)=1#

#f^((4))(x)=sinhx, f^((4))(0)=0#

#f^((5))(x)=coshx, f^((5))(0)=1#

Quindi, vediamo un modello abbastanza coerente di zeri e uno alternati. Scriviamo i primi termini della serie:

L'espansione della serie Maclaurin è data da

#f(x)=sum_(n=0)^oof^((n))(0)x^n/(n!)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/(2!)+...#

Quindi, per la nostra funzione, otteniamo

#sinhx=0+x+0x^2+x^3/(3!)+0x^4+x^5/(5!)+...#

Se ignoriamo i termini che coinvolgono zero, vediamo

#sinhx=x+x^3/(3!)+x^3/(3!)+...#

Vogliamo quindi esponenti e fattoriali dispari a partire da #1#, quindi la somma è

#sinhx=sum_(n=0)^oox^(2n+1)/((2n+1)!)#

Per trovare il raggio di convergenza, useremo il Test del rapporto, dove

#a_n=x^(2n+1)/((2n+1)!)#

#lim_(n->oo)|a_(n+1)/a_n|=lim_(n->oo)|x^(2n+3)/((2n+3)!)*((2n+1)!)/x^(2n+1)|#

Vogliamo che i fattoriali si annullino. Quindi, togli alcuni termini dal fattoriale più grande:

#(2n+3)! = (2n+3)(2n+1)(2n+1)!#

Quindi abbiamo

#lim_(n->oo)|(x^(2n+3)cancel((2n+1)!))/(x^(2n+1)(2n+3)(2n+2)cancel((2n+1)!))|#

#x^(2n+3)/x^(2n+1)=x^2#

Così,

#|x^2|lim_(n->oo)1/((2n+3)(2n+2))<1# provoca convergenza.

Il limite va a #0.# Pertanto, questa quantità è sempre #0<1# indipendentemente da ciò che scegliamo #x#. Abbiamo convergenza per tutti i numeri reali, IE, #R=oo#