Qual è il raggio di convergenza dell'espansione della serie MacLaurin per `f (x) = sinh x`?

Scopriamo innanzitutto l'espansione della serie Maclaurin per `sinhx`:

`f(x)=sinhx=(e^x-e^-x)/2, f(0)=(e^0-e^0)/2=0`

`f'(x)=coshx=(e^x+e^-x)/2, f'(0)=(e^0+e^0)/2=1`

`f''(x)=sinhx, f''(0)=0`

`f'''(x)=coshx, f'''(0)=1`

`f^((4))(x)=sinhx, f^((4))(0)=0`

`f^((5))(x)=coshx, f^((5))(0)=1`

Quindi, vediamo un modello abbastanza coerente di zeri e uno alternati. Scriviamo i primi termini della serie:

L'espansione della serie Maclaurin è data da

`f(x)=sum_(n=0)^oof^((n))(0)x^n/(n!)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/(2!)+...`

Quindi, per la nostra funzione, otteniamo

`sinhx=0+x+0x^2+x^3/(3!)+0x^4+x^5/(5!)+...`

Se ignoriamo i termini che coinvolgono zero, vediamo

`sinhx=x+x^3/(3!)+x^3/(3!)+...`

Vogliamo quindi esponenti e fattoriali dispari a partire da `1`, quindi la somma è

`sinhx=sum_(n=0)^oox^(2n+1)/((2n+1)!)`

Per trovare il raggio di convergenza, useremo il Test del rapporto, dove

`a_n=x^(2n+1)/((2n+1)!)`

`lim_(n->oo)|a_(n+1)/a_n|=lim_(n->oo)|x^(2n+3)/((2n+3)!)*((2n+1)!)/x^(2n+1)|`

Vogliamo che i fattoriali si annullino. Quindi, togli alcuni termini dal fattoriale più grande:

`(2n+3)! = (2n+3)(2n+1)(2n+1)!`

Quindi abbiamo

`lim_(n->oo)|(x^(2n+3)cancel((2n+1)!))/(x^(2n+1)(2n+3)(2n+2)cancel((2n+1)!))|`

`x^(2n+3)/x^(2n+1)=x^2`

Così,

`|x^2|lim_(n->oo)1/((2n+3)(2n+2))<1` provoca convergenza.

Il limite va a `0.` Pertanto, questa quantità è sempre `0<1` indipendentemente da ciò che scegliamo `x`. Abbiamo convergenza per tutti i numeri reali, IE, `R=oo`