Qual è la derivata di #arctan sqrt [(1-x) / (1 + x)] #?
Ho ottenuto:
#-(1)/(2sqrt(1-x^2))#
Il derivato di #arctanu# is #(1/(1+(u(x))^2))((du(x))/(dx))#.
Quindi da allora #u(x) = sqrt((1-x)/(1+x))#:
#d/(dx)(arctansqrt((1-x)/(1+x)))#
# = 1/(1+(1-x)/(1+x))*(1/(2sqrt((1-x)/(1+x))))*[((1+x)*(-1) - (1-x)*(1))/(1+x)^2]#
Puoi vedere che ci sono più regole a catena qui.
# = [(-1cancel(-x)-1cancel(+x))/(1+x)^2][1/(2sqrt((1-x)/(1+x))(1+(1-x)/(1+x)))]#
Moltiplicare in #sqrt((1-x)/(1+x))# e cancella il #2#:
# = [(-cancel(2))/(1+x)^2][1/(cancel(2)(sqrt((1-x)/(1+x))+((1-x)/(1+x))^"3/2"))]#
Unisci le frazioni:
# = -(1)/((1+x)^"4/2"(sqrt((1-x)/(1+x))+((1-x)/(1+x))^"3/2"))#
Moltiplicare in #(1+x)^"4/2"#:
# = -(1)/(sqrt(1-x)*(1+x)^"3/2"+(1-x)^"3/2"*sqrt(1+x)#
Semplifica girando #sqrt(1-x)# e #sqrt(1+x)# fra le #sqrt(1-x^2)#:
# = -(1)/((1-x)^"1/2"(1+x)^"1/2"(1+x)+(1-x)(1-x)^"1/2"(1+x)^"1/2"#
Fattorizza il #sqrt(1-x^2)# e annulla ciò che è ora dentro:
# = -(1)/(sqrt(1-x^2)*(1+x)+(1-x)*sqrt(1-x^2))#
# = -(1)/(sqrt(1-x^2)(1cancel(+x)+1cancel(-x)))#
# = color(blue)(-(1)/(2sqrt(1-x^2)))#
Wolfram Alpha indica il derivato come (assumendo #x > 0#)
# = -(1)/(2sqrt(1-x^2))#,
e in generale, dà
#sqrt((1-x)/(1+x))/(2(1-x))#.