Qual è la derivata di y = arctan (4x) ?
Risposta
4/(16x^2 + 1)
Spiegazione
Prima di tutto ricordalo d/dx[arctan x] = 1/(x^2 + 1).
Tramite l' regola di derivazione:
1.) d/dx[arctan 4x] = 4/((4x)^2 + 1)
2.) d/dx[arctan 4x] = 4/(16x^2 + 1)
Se non è chiaro il perché d/dx[arctan x] = 1/(x^2 + 1), continua a leggere, mentre esaminerò la dimostrazione dell'identità.
Inizieremo semplicemente con
1.) y = arctan x.
Da ciò è implicito che
2.) tan y = x.
Usando la differenziazione implicita, avendo cura di usare la regola della catena tan y, arriviamo a:
3.) sec^2 y dy/dx = 1
Risolvere per dy/dx ci da:
4.) dy/dx = 1/(sec^2 y)
Che semplifica ulteriormente a:
5.) dy/dx = cos^2 y
Successivamente, una sostituzione che utilizza la nostra equazione iniziale ci darà:
6.) dy/dx = cos^2(arctan x)
Questo potrebbe non sembrare troppo utile, ma esiste un'identità trigonometrica che può aiutarci.
Richiamo tan^2alpha + 1 = sec^2alpha. Questo sembra molto simile a quello che abbiamo nel passaggio 6. In effetti, se lo sostituiamo alpha con i arctan xe riscrivi il sec in termini di cos quindi otteniamo qualcosa di abbastanza utile:
tan^2(arctan x) + 1 = 1/(cos^2(arctan x))
Questo semplifica:
x^2 + 1 = 1/(cos^2(arctan x))
Ora, moltiplica semplicemente alcune cose e otteniamo:
1/(x^2 + 1) = cos^2(arctan x)
Bellissimo. Ora possiamo semplicemente sostituire l'equazione che abbiamo nel passaggio 6:
7.) dy/dx = 1/(x^2 + 1)
E voilà: c'è la nostra identità.