Qual è la derivata di # y = arctan (4x) #?

Risposta
#4/(16x^2 + 1)#

Spiegazione
Prima di tutto ricordalo #d/dx[arctan x] = 1/(x^2 + 1)#.

Tramite l' regola di derivazione:

1.) #d/dx[arctan 4x] = 4/((4x)^2 + 1)#

2.) #d/dx[arctan 4x] = 4/(16x^2 + 1)#

Se non è chiaro il perché #d/dx[arctan x] = 1/(x^2 + 1)#, continua a leggere, mentre esaminerò la dimostrazione dell'identità.

Inizieremo semplicemente con

1.) #y = arctan x#.

Da ciò è implicito che

2.) #tan y = x#.

Usando la differenziazione implicita, avendo cura di usare la regola della catena #tan y#, arriviamo a:

3.) #sec^2 y dy/dx = 1#

Risolvere per #dy/dx# ci da:

4.) #dy/dx = 1/(sec^2 y)#

Che semplifica ulteriormente a:

5.) #dy/dx = cos^2 y#

Successivamente, una sostituzione che utilizza la nostra equazione iniziale ci darà:

6.) #dy/dx = cos^2(arctan x)#

Questo potrebbe non sembrare troppo utile, ma esiste un'identità trigonometrica che può aiutarci.

Richiamo #tan^2alpha + 1 = sec^2alpha#. Questo sembra molto simile a quello che abbiamo nel passaggio 6. In effetti, se lo sostituiamo #alpha# con i #arctan x#e riscrivi il #sec# in termini di #cos# quindi otteniamo qualcosa di abbastanza utile:

#tan^2(arctan x) + 1 = 1/(cos^2(arctan x))#

Questo semplifica:

#x^2 + 1 = 1/(cos^2(arctan x))#

Ora, moltiplica semplicemente alcune cose e otteniamo:

#1/(x^2 + 1) = cos^2(arctan x)#

Bellissimo. Ora possiamo semplicemente sostituire l'equazione che abbiamo nel passaggio 6:

7.) #dy/dx = 1/(x^2 + 1)#

E voilà: c'è la nostra identità.