Qual è l'integrale di #sqrt (9-x ^ 2) #?

Ogni volta che vedo questo tipo di funzioni, riconosco (facendo molta pratica) che dovresti usare una sostituzione speciale qui:
#int sqrt(9-x^2)dx#
#x = 3sin(u)#
Potrebbe sembrare una strana sostituzione, ma vedrai perché lo stiamo facendo.
#dx = 3cos(u)du#
Sostituisci tutto nell'integrale:

#int sqrt(9-(3sin(u))^2)*3cos(u)du#
Possiamo portare il 3 dall'integrale:
#3*int sqrt(9-(3sin(u))^2)*cos(u)du#
#3*int sqrt(9-9sin^2(u))*cos(u)du#
Puoi fattorizzare il 9:
#3*int sqrt(9(1-sin^2(u)))*cos(u)du#
#3*3int sqrt(1-sin^2(u))*cos(u)du#

Conosciamo l'identità: #cos^2x + sin^2x = 1#
Se risolviamo per #cosx#, noi abbiamo:
#cos^2x = 1-sin^2x#
#cosx = sqrt(1-sin^2x)#
Questo è esattamente ciò che vediamo nell'integrale, quindi possiamo sostituirlo:

#9 int cos^2(u)du#
Potresti conoscere questo come un antiderivativo di base, ma se non lo fai, puoi capirlo in questo modo:

Usiamo l'identità: #cos^2(u) = (1+cos(2u))/2#

#9 int (1+cos(2u))/2 du#
#9/2 int 1+cos(2u) du#
#9/2 (int 1du + int cos(2u)du)#
#9/2 (u + 1/2sin(2u)) + C# (puoi risolverlo per sostituzione)
#9/2 u + 9/4 sin(2u) + C#

Ora, tutto ciò che dobbiamo fare è mettere #u# nella funzione. Diamo un'occhiata a come l'abbiamo definita:
#x = 3sin(u)#
#x/3 = sin(u)#
Per ottenere #u# da questo, devi prendere la funzione inversa di #sin# da entrambe le parti, questo è #arcsin#:

#arcsin(x/3) = arcsin(sin(u))#
#arcsin(x/3) = u#

Ora dobbiamo inserirlo nella nostra soluzione:

#9/2 arcsin(x/3) + 9/4 sin(2arcsin(x/3)) + C#

Questa è la soluzione finale.