Utilizzando il test integrale, come si fa a mostrare se #sum 1 / (n (lnn) ^ 2) # diverge o converge da n = 1 a infinito?

Non so se questa sia una domanda a cui è stato chiesto allo studente se c'è un errore nel postarla qui.

Se eliminiamo il primo termine e facciamo il test integrale per #sum_2^oo 1/(n(lnn)^2) #, poi
Penso che sia abbastanza chiaro che la funzione #f(x) = 1/(x(lnx)^2)# è infine non negativo e monotono decrescente, quindi la sfida è quella di integrare la funzione #[1,oo)#

#int_2^oo 1/(x(lnx)^2) dx = lim_(brarroo)int_2^b 1/(x(lnx)^2) dx#

# = lim_(brarroo)int_2^b 1/(lnx)^2 1/x dx#

# = lim_(brarroo)int_2^b (lnx)^-2 1/x dx#

# = lim_(brarroo) [-(lnx)^-1]_2^b#

# = lim_(brarroo) [-1/lnb - (-1/ln2)]#

# = 0+1/ln2#

Quindi l'integrale e la serie convergono entrambi.

Promemoria

Se lo volessimo davvero potremmo integrare:

#int_1^oo 1/(x(lnx)^2) dx# valutando entrambi:

#int_1^c f(x) dx# e #int_c^oo f(x) dx#

#lim_(ararr1^+) int_a^c 1/(x(lnx)^2) dx# #" "# e #" "# #lim_(brarroo) int_c^b 1/(x(lnx)^2) dx#

for #c# in #(1,oo)#

L'integrale #int_1^c f(x) dx# diverge, quindi #int_1^oo 1/(x(lnx)^2) dx# diverge.