Utilizzando il test integrale, come si fa a stabilire se #sum (1 / e ^ k) # diverge o converge?

Il test integrale afferma che:

If #int_1^oo f(x)dx# converge a un valore che non è infinito allora #sum_(k=1)^oof(k)# convergeranno anche.

Per prima cosa dobbiamo guardare la natura di #f(x) = 1/e^x#.

grafico {1 / e ^ x [-10, 10, -5, 5]}

Come possiamo vedere #f(x)# è in netto calo da #x = 1# sulle parole in modo da poter applicare il test integrale.

Ricorda #f(k)= 1/e^k = e^(-k)#

Integrare questo rispetto a #x# ottenere:

#int_1^ooe^-xdx = [-e^(-x)]_1^oo=[-1/e^(x)]_1^oo#

Per il limite superiore, possiamo vederlo come #x# diventa molto grande anche il fondo della frazione diventa grande, quindi la frazione nel suo insieme diventa molto piccola e svanisce completamente a #x=oo# Più formalmente:

#lim_(x->oo)(-1/e^x)=0#

Per il limite inferiore otteniamo semplicemente: #-1/e^#

Quindi la valutazione dei limiti dà:

#[-1/e^(x)]_1^oo=-1/e^# che è finito.

Quindi, dal test integrale, poiché l'integrale converge in un valore finito, allora la somma:

#sum_(k=1)^oof(k)# converge anche.

È importante notare che il integrale non può essere utilizzato per valutare la somma , ma verifica solo se converge o meno, ovvero:

#sum_(k=1)^oo 1/e^k !=1/e#

Infatti se valutiamo la somma che otteniamo:

#sum_(k=1)^oo 1/e^k =1/(1-e)#