Come trovo l'equazione cartesiana di un piano contenente tre punti dati?

L'equazione cartesiana di un piano #P# is #ax + by + cz + d = 0#, Dove #a, b, c# sono le coordinate del vettore normale #vec n = ( (a), (b), (c) ) #

lasciare #A, B and C# essere tre punti non lineari, #A, B, C in P#
Si noti che #A, B and C# definire due vettori #vec (AB)# e #vec (AC)# contenuto nell'aereo #P#. Sappiamo che il prodotto incrociato di due vettori contenuti in un piano definisce il vettore normale del piano.

Ora, possiamo usare un esempio per illustrare la soluzione. Supponiamo che le coordinate dei tre punti siano le seguenti:
#A(1,2,3), B(-2,1,0)# e #C(0,3,2)#

Dalle coordinate dei punti #A, B# e #C# possiamo trovare i vettori #vec (AB)# e #vec (AC)#:

#vec (AB) = (x_b - x_a)*hat i + (y_b - y_a)*hat j + (z_b - z_a)*hat k#
#vec (AC) = (x_c - x_a)*hat i + (y_c - y_a)*hat j + (z_c - z_a)*hat k#
where #hat i, hat j# e #hat k# sono la vettori di unità sugli assi cartesiani delle coordinate #Ox, Oy# e #Oz#.

Dopo aver inserito i valori delle coordinate, abbiamo:
#vec (AB) = (-2 - 1)*hat i + (1-2)*hat j + (0-3)*hat k#
Così, #vec (AB) = -3 hat i - hat j -3 hat k#

#vec (AC) = (0-1)*hat i + (3-2)* hat j + (2-3)*hat k#.
Così, #vec (AC) = -hat i + hat j - hat k#

Successivamente, troveremo il vettore normale dal prodotto incrociato di #vec (AB)# e #vec (AC)#

#vec n = vec (AB)# x #vec (AC) = | (hat i,hat j,hat k),(-3,-1,-3),( -1,1,-1)|# #=# # 4 hat i - 4 hat k#

Pertanto, l'equazione del piano è #4x-4z+d=0#. Per trovare #d#, possiamo collegare le coordinate del punto #A#:
#d= 4z - 4x => d = 4*3 - 4*1 = 8#

Quindi, l'equazione cartesiana del piano è #4x-4z+8=0#.