Qual è il limite quando x si avvicina all'infinito di # e ^ x #?

#color(white)()#
Come una vera funzione

Trattamento #e^x# in funzione dei valori reali di #x#, ha le seguenti proprietà:

• Il dominio di #e^x# è il tutto #RR#.

• La gamma di #e^x# is #(0, oo)#.

• #e^x# è continuo nel complesso #RR# e infinitamente differenziabile, con #d/(dx) e^x = e^x#.

• #e^x# è uno a uno, quindi ha una funzione inversa ben definita (#ln x#) da parte di #(0, oo)# su #RR#.

• #lim_(x->+oo) e^x = +oo#

• #lim_(x->-oo) e^x = 0#

A prima vista questo risponde alla domanda, ma per quanto riguarda i valori complessi di #x#?

#color(white)()#
Come una funzione complessa

Trattato come una funzione di valori complessi di #x#, #e^x# ha le proprietà:

• Il dominio di #e^x# è il tutto #CC#.

• La gamma di #e^x# is #CC "" { 0 }#.

• #e^x# è continuo nel complesso #CC# e infinitamente differenziabile, con #d/(dx) e^x = e^x#.

• #e^x# è molti a uno, quindi non ha una funzione inversa. La definizione di #ln x# può essere esteso a una funzione da #CC "" { 0 }# fra le #CC#, in genere su #{ x + iy : x in RR, y in (- pi, pi] }#.

Cosa intendiamo per limite di #e^x# as #x -> "infinity"# in tale contesto?

Dall'origine, possiamo dirigerci verso "l'infinito" in tutti i modi.

Ad esempio, se siamo appena partiti lungo l'asse immaginario, il valore di #e^x# gira e gira intorno al cerchio dell'unità.

Se scegliamo un numero complesso #c = r(cos theta + i sin theta)#, quindi seguendo la linea #ln r + it# for #t in RR# as #t->+oo#, il valore di #e^(ln r + it)# prenderà il valore #c# infinite volte.

Possiamo proiettare il piano complesso su una sfera chiamata sfera di Riemann #CC_oo#, con un punto aggiuntivo chiamato #oo#. Questo ci permette di immaginare il "quartiere di #oo#"e pensa al comportamento della funzione #e^x# vi.

Dalle nostre precedenti osservazioni, #e^x# prende ogni valore complesso diverso da zero infinitamente molte volte in qualsiasi quartiere arbitrariamente piccolo di #oo#. Questo si chiama an singolarità essenziale all'infinito.