Qual è il limite quando x si avvicina all'infinito di #ln (x) #?

#lim_(xrarroo)lnx=oo#

Per vedere questo, useremo:

#lnx=int_1^x1/tdt#

#int_a^bf(t) dt = int_a^c f(t) dt + int_c^bf(t) dt #

Se acceso #[a, b]# ne ha #f(t)>=m#, poi #int_a^b f(t)dt >=(b-a)*m#

Esamineremo gli intervalli del modulo: #[2^n, 2^(n+1)]#

On #[1, 2]#, noi abbiamo #1/t >= 1/2#, Così
#int_1^2 1/tdt >= (2-1)*1/2=1/2#
E così, #ln2 >= 1/2#

On #[2, 4]#, noi abbiamo #1/t >= 1/4#, Così
#int_1^4 1/tdt=int_1^2 1/tdt+int_2^4 1/tdt >= 1/2+(4-2)*1/4=1/2+1/2=1#
E, #ln 4 >= 2/2 =1#

Su ciascun #[2^n, 2^(n+1)]#, noi abbiamo #1/t >= 1/(2^(n+1)# Quindi l'integrale aggiuntivo #int_(2^n)^(2^(n+1)) 1/t dt# aggiunge più di

#(2^(n+1)-2^n) * 1/(2^(n+1)) = [2^n(2-1)] * 1/2^(n+1)=(2^n)/2^(n+1)=1/2#

E così, #ln (2^(n+1)) = int_1^(2^(n+1)) 1/t dt >= (n+1)/2#

Così come #xrarroo#, noi abbiamo #int_1^x 1/t dt rarr oo#.

Dal momento che questo integrale è #ln x#, noi abbiamo #lim_(xrarroo)lnx=oo#