Qual è il limite quando x si avvicina all'infinito negativo di #x + sqrt (x ^ 2 + 2x) #?

Innanzitutto, proveremo a inserire il valore:
#lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x) = -oo + sqrt(oo-oo)#
Stiamo già riscontrando un problema: semplicemente non è permesso #oo-oo#, è come dividere per zero.
Dobbiamo provare un approccio diverso.

Ogni volta che vedo questo tipo di limite, provo a usare un trucco:
#lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x)#
#= lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x)*(x-sqrt(x^2+2x))/(x-sqrt(x^2+2x))#
Questi sono gli stessi perché il fattore con cui ci stiamo moltiplicando è essenzialmente #1#.
Perché stiamo facendo questo? Perché esiste una formula che dice: #(a-b)(a+b) = a^2-b^2#
In questo caso #a = x# e #b = sqrt(x^2+2x)#
Applichiamo questa formula:
#lim_{x to -oo}(x^2-(sqrt(x^2+2x))^2)/(x-sqrt(x^2+2x))#
#= lim_{x to -oo}(x^2-x^2-2x)/(x-sqrt(x^2+2x))#
#= lim_{x to -oo}(-2x)/(x-sqrt(x^2+2x))#

Ora useremo un altro trucco. Useremo questo, perché vogliamo ottenere il #x^2# fuori dalla radice quadrata:
#lim_{x to -oo}(-2x)/(x-sqrt(x^2(1+2/x))#
Se guardi attentamente, vedi che è la stessa cosa.
Ora, potresti dirlo #sqrt(x^2) = x#, ma devi ricordarlo #x# è un numero negativo. Perché stiamo prendendo la radice quadrata positiva, #sqrt(x^2) = -x# in questo caso.
#= lim_{x to -oo}(-2x)/(x+xsqrt(1+2/x))#
#= lim_{x to -oo}(-2x)/(x(1+sqrt(1+2/x)))#
Siamo in grado di annullare il #x#:
#= lim_{x to -oo}(-2)/(1+sqrt(1+2/x))#
E ora possiamo finalmente inserire il valore:

#= -2/(1+sqrt(1+2/-oo))#

Un numero diviso per l'infinito è sempre #0#:
#= -2/(1+sqrt(1+0)) = -2/(1+1) = -2/2 = -1#

Questa è la risposta finale.
Spero che sia d'aiuto.